свойства и определения параллелограмма 8 класс

Свойства и определения параллелограмма 8 класс

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. AB ∥ CD, BC ∥ AD.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведенный из любой точки одной стороны на противолежащую сторону (расстояние между противолежащими сторонами).

Свойства параллелограмма:
1. Противолежащие стороны равны.
2. Противолежащие стороны параллельны.
3. Противолежащие углы равны.
4. Сумма соседних углов равна 180.
5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
6. Диагональ делит пaрaллелограмм на два равных треугольника.
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его четырех сторон.
8. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Признаки параллелограмма:
— две противолежащие стороны равны и параллельны,
— противолежащие стороны попарно равны,
— диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
— каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника.

Это конспект по геометрии в 8 классе «Свойства и признаки параллелограмма». Выберите дальнейшее действие:

Источник

Параллелограмм и его свойства

Урок 3. Геометрия 8 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Параллелограмм и его свойства»

На предыдущем уроке мы говорили о четырёхугольнике. Напомним, что четырёхугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. Причём никакие три точки не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

На этом уроке мы познакомимся с новой геометрической фигурой, которую называют параллелограммом.

Сформулируем определение: параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Любой параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Давайте посмотрим на следующие четырёхугольники.

Первый является параллелограммом, так как у него противоположные стороны попарно параллельны. Следующий четырёхугольник также является параллелограммом, ведь у него противоположные стороны попарно параллельны. А вот четырёхугольник в пункте в не является параллелограммом, так как у него две стороны параллельны, а две другие – нет. У четырёхугольника в пункте г противоположные стороны попарно параллельны, а значит, он – параллелограмм. И последний четырёхугольник не является параллелограммом, так как у него стороны не параллельны.

Поговорим о свойствах параллелограмма.

Свойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна .

Рассмотрим параллелограмм ABCD.

По определению параллелограмма стороны AB и CD параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Прямая AD, которая проходит через две соседние вершины, является секущей. А тогда углы BAD и ADC – внутренние односторонние.

Нам известно, что если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна ста восьмидесяти градусам. Следовательно, .

А так как эти углы являются углами при соседних вершинах параллелограмма, то свойство доказано.

Свойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

Рассмотрим и .

Сторона – общая,как накр. лежащие при и секущей ,

как накр. лежащие при и секущей .

по второму признаку.

Что и требовалось доказать.

Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны.

Рассмотрим параллелограмм ABCD.

Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и CDA. Доказывая предыдущее свойство, мы выяснили, что эти треугольники равны, то есть у них соответствующие стороны равны. И сторона AB = DC, а сторона AD = BC.

Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведём диагональ AC.

как накр. лежащие при и секущей ,как накр. лежащие при и секущей ,

следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Также равенство противоположных углов параллелограмма следует из равенства треугольников ABC и CDA, которое мы доказали в предыдущем свойстве.

Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей AC и BD.

Рассмотрим и .

как противоположные стороны,как накр. лежащие при

и секущей ,как накр. лежащие при и секущей .

по второму признаку.

Следовательно, ,.

Что и требовалось доказать.

Теперь для закрепления материала решим несколько задач.

Задача. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Доказательство. Пусть ABCD – некоторый параллелограмм. Проведём, например, из вершины А биссектрису АМ.

,так как – биссектриса.

как накр. лежащие при и секущей .

Следовательно, .

Тогда – равнобедренный.

Задача. У параллелограмма диагональ равна 16 см, диагональ – 10 см, а сторона – 8 см. Найдите периметр треугольника .

Рассмотрим .

(см), (см), (см).

(см).

Источник

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

vsh

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

sd2

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

shhd

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Источник

Параллелограмм — признаки и свойства

Клод Бернард однажды сказал:

«Думать, что всё знаешь, останавливает тебя от того, чтобы учиться новому»

Давай узнаем что-то новое сегодня, разбирая, казалось бы, такую простую тему!

Статья поможет тебе окончательно разобраться с самыми «популярными» параллелограммами, а наши вебинары дадут тебе необходимую практику.

И на ЕГЭ ты сможешь решить любую задачу на эту тему!

Параллелограмм — коротко о главном

Параллелограмм – четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые: \( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90<>^\circ \).

Свойства прямоугольника:

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой: \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\).

Свойства ромба:

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые: \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\); \( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90<>^\circ \).

Свойства квадрата:

\( \displaystyle ABCD\) – ромб

Источник

Что такое параллелограмм: определение, свойства, признаки

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – параллелограмма.

Определение параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Обычно параллелограмм записывается путем перечисления четырех его вершин, например, ABCD. А пары параллельных сторон, чаще всего, обозначаются маленькими латинскими буквами, в нашем случае – a и b.

Частные случаи параллелограмма: квадрат, ромб и прямоугольник.