свойства степеней это определение

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Свойство № 2
Частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Свойство № 3
Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Свойства 4
Степень произведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Источник

Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры

Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.

Свойства степени с натуральным показателем

1. Главное свойство степени: a m · a n = a m + n

2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: a m : a n = a m − n

3. Свойство степени произведения: ( a · b ) n = a n · b n

Равенство можно расширить до: ( a 1 · a 2 · … · a k ) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Свойство частного в натуральной степени: ( a : b ) n = a n : b n

Можно обобщить до: ( ( ( a n 1 ) n 2 ) … ) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Сравниваем степень с нулем:

7. Равенство a n b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенство a m > a n будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы.

Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.

Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

Выполним необходимые математические действия: 2 2 · 2 3 = ( 2 · 2 ) · ( 2 · 2 · 2 ) = 4 · 8 = 32 и 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

a m − n · a n = a ( m − n ) + n = a m

Из него можно вывести: a m − n · a n = a m

Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π : π 5 : π 2 = π 5 − 3 = π 3

Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:

( a 1 · a 2 · … · a k ) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Начнем сразу с примера: ( 5 2 ) 3 = 5 2 · 3 = 5 6

А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства:

a p q y s = a p · q · y · s

6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени a n с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a · a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда и степень a 2 · m также положительны.

Тогда

7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).

8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

Докажем эти утверждения.

Пример с конкретными числами: 3 7 > 3 2

Основные свойства степеней с целыми показателями

Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0 ) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

1. a m · a n = a m + n

2. a m : a n = a m − n

3. ( a · b ) n = a n · b n

4. ( a : b ) n = a n : b n

Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Условия: p = 0 или натуральное число; q – аналогично.

( a 0 ) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1

Следовательно, ( a 0 ) q = a 0 · q

Для q = 0 все точно так же:

( a p ) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1

Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

1 a p q = 1 q a p q

Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

Основные свойства степеней с рациональными показателями

В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:

Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:

Свойства корня позволят нам вывести равенства:

a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2

Из этого получаем: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Показатель степени можно записать в виде:

m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:

Доказательства остальных равенств:

a · b m n = ( a · b ) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; ( a : b ) m n = ( a : b ) m n = a m : b m n = = a m n : b m n = a m n : b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2

Используем свойство корней и выведем: a m n b m n

Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m 1 n и m 2 n

Их можно переписать в следующем виде:

a m 1 n a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:

a m 1 n a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Основные свойства степеней с иррациональными показателями

1. a p · a q = a p + q

2. a p : a q = a p − q

3. ( a · b ) p = a p · b p

4. ( a : b ) p = a p : b p

Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a > 0 обладают теми же свойствами.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятие степени числа.

Степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.

Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований.

Произведение степеней с одним и тем же основанием – это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Макарычев Ю. Н. Алгебра: 7 класс. // Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. – М.: Просвещение, 2019. – 256 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

При этом число 8 называют основанием степени, а число 6 – показателем степени.

А теперь давайте сформулируем общее определение степени числа, опираясь на предыдущий пример:

степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.

Запись a n читается как: а в степени n, или n-ая степень числа a.

А вот следующие записи можно произносить по-разному:

a 2 – её можно произносить «а в квадрате» или «а во второй степени»;

a 3 – её можно произносить «а в кубе» или «а в третьей степени».

Стоит отметить, что особые случаи возникают, если показатель степени равен нулю или единице:

степенью числа а с показателем n = 1 является само это число:

любое число в нулевой степени равно единице:

ноль в любой натуральной степени равен нулю:

единица в любой степени равна 1:

Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают неопределенным.

Примеры. Возведём в степени:

При решении задач, нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Рассмотрим несколько примеров.

Возведём в степень

2 5 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32

2,5 3 = 2,5 ∙ 2,5 ∙ 2,5 = 15,625

Основание степени может быть любым числом – положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа, в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того, чётным или нечётным числом был показатель степени.

(-5) 4 = (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) = 625.

Рассмотрим такой пример: 4 2 ∙ 5 2 = 4 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 5 = (4 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 5) = (4 ∙ 5) 2 = 20 2 = 400.

Данный пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований:

Этот пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Произведение степеней с одним и тем же основанием это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней, т.е.

Наконец, рассмотрим равенство:

Это равенство подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней, т.е.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Источник

Степень и ее свойства. Определение степени

Разделы: Математика

Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

По определению степени:

а n =

Нахождение значения степени называют возведением в степень.

1. Примеры возведения в степень:

2. Представьте в виде квадрата числа: 25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = ( 0,3 ) 2 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

а) 3• 10 3 = 3• 10• 10• 10 = 3• 1000 = 3000

1. Запишите произведение в виде степени:

б)

2. Представьте в виде квадрата числа:

16 ; 0,25 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

125 ; 0,027 ; .

4. Найти значения выражений :

Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:

Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

a m a n a k = a m + n a k = a ( m + n ) + k = a m + n + k

1. Представить в виде степени:

б) y• y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

д) 0,01• 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

б) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Представить в виде степени:

д) 2 3 •2 4 к) 0,3 3 •0,09

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

б) 3 4 •3 2 г) 27• 243

Для любого числа а0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:

по определению частного:

Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице:

1. Представьте в виде степени частное:

г) с 5 :с 0 = с 5 :1 = с 5

2. Найдите значения выражений:

б) 10 20 :10 17 = 10 3 = 1000

в)

г)

д)

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

в)

г)

д)

Возведение в степень произведения.

Для любых а и b и произвольного натурального числа n:

По определению степени

( ab ) n =

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:

=

Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.

( a• b• c ) n = a n •b n •c n ;

Правило: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.

1. Возвести в степень:

б) (2• х• у ) 3 =2 3 •х 3 •у 3 = 8• х 3 •у 3

в) ( 3• а ) 4 = 3 4 •а 4 = 81• а 4

д) (-0,2• х• у ) 2 = (-0,2) 2 •х 2 •у 2 = 0,04• х 2 •у 2

е) (-3• a• b• c ) 4 = (-3) 4 •a 4 •b 4 •c 4 = 81• a 4 •b 4 •c 4

2. Найти значение выражения:

а) (2• 10) 4 = 2 4 •10 4 = 16• 1000 = 16000

б) (3• 5• 20) 2 = 3 2 •100 2 = 9• 10000= 90000

в) 2 4 •5 4 = (2• 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 •4 11 = (0,25• 4) 11 = 1 11 = 1

д)

1. Возвести в степень:

е)

2. Найти значение выражения:

г)

д)

Возведение в степень степени.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:

По определению степени

( а m ) n =

Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

1. Возвести в степень:

( а 3 ) 2 = а 6 ( х 5 ) 4 = х 20

( у 5 ) 2 = у 10 ( b 3 ) 3 = b 9

2. Упростите выражения:

а) а 3 •( а 2 ) 5 = а 3 •а 10 = а 13

б) ( b 3 ) 2 •b 7 = b 6 •b 7 = b 13

в) ( х 3 ) 2 •( х 2 ) 4 = х 6 •х 8 = х 14

г) ( у• у 7 ) 3 = ( у 8 ) 3 = у 24

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

1. Возвести в степень:

в) ( у 3 ) 2 г) ( b 4 ) 4

2. Упростите выражения:

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Приложение

1ю Запишите произведение в виде степени:

б)

2. Представьте в виде квадрата числа:

25 ; 0,16 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

64 ; 0,125 ; .

4. Найти значения выражений:

1. Запишите произведение в виде степени:

б)

в) с• с• с• с• с• с• с• с• с

2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

1000 ; 0,008 ; .

4. Найти значения выражений :

1. Запишите произведение в виде степени:

б)

д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс ) • ( bc )

2. Представьте в виде квадрата числа:

81 ; 0,64 ;.

3. Представьте в виде куба числа:

216 ; 0,064 ; .

4. Найти значения выражений :

1. Представить в виде степени:

д) 2 2 •2 5 к) 0,2 3• 0,04

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

1. Представить в виде степени:

д) 2 3 •2 6 к) 0,3 4 •0,27

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

1. Представить в виде степени:

б) х 7 •х 8 ж) 3 4 •27

д) 2 4 •2 5 к) 0,2 2 •0,008

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

в)

г)

д)

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

в)

г)

д)

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

в)

г)

д)

Возведение в степень произведения.

1. Возвести в степень:

2. Найти значение выражения:

д)

1. Возвести в степень:

е)

2. Найти значение выражения:

г)

1. Возвести в степень:

2. Найти значение выражения:

д)

Возведение в степень степени.

1. Возвести в степень:

2. Упростите выражения:

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

1. Возвести в степень:

2. Упростите выражения:

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

1. Возвести в степень:

2. Упростите выражения:

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Источник