Соотношение между фазными и линейными напряжениями. Номинальные напряжения
Напряжение фаз нагрузки отличны от значения ЭДС генератора из-за падения напряжения на линии от генератора к потребителю. Длина этих линий может составлять несколько метров, а может и пару сотен метров, также возможна длина и в тысячи километров. Вопросы о падении напряжений на линиях электрических передач ЛЭП, снабжающих потребителей энергией электрической от электрических станций будут рассматриваться чуть позже, в последующих статьях. Для упрощения расчетов указанным значением падений напряжений можно пренебречь.
Соединение звездой
При принятых допущениях для соединенных источников звездой:
применив второй закон Кирхгофа получим:
Из выражения (1) можно сделать вывод, что при симметричной системе ЭДС генератора его фазные напряжения также симметричны, и, соответственно, их векторная диаграмма:
не будет отличатся от векторной диаграммы ЭДС:
Исходя из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контуров (схема соединения в звезда указана выше):
Исходя из этих уравнений можно составить следующие уравнения, которые связывают линейные и фазные напряжения:
Использовав выражение (2) при наличии векторов фазных напряжений можно построить векторы линейных напряжений Uab, Ubc, Uca.
Исследовав векторную диаграмму при соединении звездой можно сделать вывод, что линейные напряжения будут равны и, как и фазные, сдвинуты друг относительно друга на угол 120 0 или 2π/3. Векторы линейных напряжений чаще всего показывают как соединенные фазные направления:
Соответственно такие же соотношение и между остальными фазными и линейными значениями:
Соединение треугольником
Выражения (1) будут правильны и при соединении в треугольник источника. Из формул (2) следует равенство фазных и линейных напряжений при соединении треугольником, и это можно представить в таком виде:
Или можно записать как Uл = Uф.
Векторная диаграмма при соединении треугольником для линейных и фазных напряжений:
Номинальные напряжения
Из выше перечисленного можно сделать такие выводы как – трехфазная сеть имеет два напряжения, а именно фазные и линейные. При соединении звездой линейные напряжения 
больше фазных, а при соединении треугольником равны. Этот фактор необходимо учитывать при подключении нагрузки, чтоб не произошло аварийных ситуаций и выхода оборудования из строя.
Линейные напряжения тоже сдвинуты друг относительно друга на угол 120 0 или 2π/3.
Номинальные напряжения – напряжения, на которые рассчитываются потребители электроэнергии, и которые соответствуют их нормальной работе.
Наиболее распространенными напряжениями в сетях до 1000 В являются 380В, 220В, 127В. 380 В и 220 В наиболее распространены в промышленности, а 220 В и 127 В в бытовых электросетях. Также при четырехпроводной электросети (соединения звезда с нулевым проводом) существует возможность получения фазного напряжения, которые при линейном 380 В будут равны 
, а при линейном 220 В будут равны 
. Такое соединение дает плюс в виде возможности при наличии четырехпроводной сети производить подключение как трехфазных потребителей 380 В, так и однофазных с номиналом в 220 В.
Разница между фазным и линейным напряжением
Фазное напряжение и линейное, соединение звездой и треугольником. В разговорах профессиональных электриков можно нередко слышать эти слова. Но даже не всякий электрик знает точное их значение. Так что же означают эти термины? Попробуем разобраться.
На заре развития электротехники энергия электрических генераторов и батарей передавалась потребителям по сетям постоянного тока. В США главным апологетом этой идеи был знаменитый изобретатель Томас Эдисон и крупнейшие на то время энергетические компании, подчиняясь авторитету «гиганта инженерной мысли», беспрекословно внедряли её в жизнь.
Однако, когда встал вопрос о создании разветвлённой электрической сети потребителей, питающейся от расположенного на большом расстоянии генератора, что потребовало создания первой линии электропередачи, победил проект никому тогда неизвестного сербского эмигранта Николы Теслы.
Он кардинально изменил саму идею системы электроснабжения, применив в ней вместо постоянного, генератор и электрические линии переменного тока. что позволило значительно снизить потери энергии, расход материалов и повысить энергоэффективность.
В этой системе использовался созданный Теслой трёхфазный генератор переменного тока, а передача энергии осуществлялась с помощью трансформаторов напряжения, изобретённых русским учёным П. Н. Яблочковым.
Другой русский инженер М. О. Доливо‑Добровольский уже через год не только создал подобную систему электроснабжения в России, но и значительно усовершенствовал её.
У Теслы для генерации и передачи энергии использовались шесть проводов, Добровольский предложил путём видоизменения подключения генератора сократить это количество до четырех.
Экспериментируя над созданием генератора, он попутно изобрёл асинхронный электродвигатель с короткозамкнутым ротором, находящий и поныне самое широкое применение в промышленности.
Что такое фаза: определяемся в значении
Понятие фазы существует только в цепях синусоидального переменного тока. Математически такой ток можно представить и описать уравнениями вращающегося вектора, закреплённого одним концом в начале координат. Изменение величины напряжения цепи с течением времени будет представлять собой проекция этого вектора на ось координат.
Значение этой величины зависит от угла, под которым находится вектор к координатной оси. Строго говоря, угол вектора — это и есть фаза.
Значение напряжения измеряется относительно потенциала Земли, всегда равного нулю. Поэтому провод, в котором существует напряжение переменного тока, называют фазным, а другой, заземлённый, — нулевым.
Фазовый угол одиночного вектора не представляет большого практического значения — в электрических сетях он за 1/50 сек совершает полный оборот в 360°. Куда большее применение имеет относительный угол между двумя векторами.
В цепях с так называемыми реактивными элементами: катушками, конденсаторами, он образуется между векторами значений напряжения и тока. Такой угол называют фазовым сдвигом.
Если величины реактивных нагрузок не меняются во времени, то и фазовый сдвиг между током и напряжением будет постоянным. А уже с его помощью можно производить анализ и расчёт электрических цепей.
В XIX веке, когда ещё не было научной теории электричества, и все разработки нового оборудования осуществлялись опытным путем, экспериментаторы заметили, что виток провода, вращающийся в постоянном магнитном поле, создаёт на своих концах электрическое напряжение.
Затем выяснилось, что оно изменяется по синусоидальному закону. Если намотать катушку из многих витков, напряжение пропорционально увеличится. Так появились первые электрические генераторы, которые могли обеспечивать потребителей электрической энергией.
Тесла в генераторе, разрабатываемом для крупнейшей тогда в США Ниагарской гидроэлектростанции, для более эффективного использования магнитного поля, разместил в нем не одну катушку, а три.
За один оборот ротора магнитное поле статора пересекали сразу три катушки благодаря чему отдача генератора увеличилась в корень из трёх раз и от него можно было запитать одновременно трёх различных потребителей.
Экспериментируя с такими генераторами, первые инженеры‑электрики заметили, что напряжения в обмотках изменяются не одновременно. Когда, например, в одной из них оно достигает положительного максимума, в двух других оно будет равным половине отрицательного минимума и так периодически для каждой обмотки, а для математического описания такой системы уже нужна была система трёх вращающихся векторов с относительным углом между ними в 120°.
В дальнейшем оказалось, что если нагрузки в цепях обмоток сильно отличались друг от друга, это значительно ухудшало работу самого генератора. Выяснилось, что в больших разветвлённых сетях выгоднее не тащить к потребителям три различных линии электропередач, а подвести к ним одну трёхфазную и уже на конце её обеспечивать равномерное распределение нагрузок по каждой фазе.
Именно такую схему и предложил Доливо‑Добровольский, когда по одному выводу от каждой из трёх обмоток генератора соединяются вместе и заземляются, вследствие чего их потенциал становится одинаковым и равным нулю, а электрические напряжения снимаются с других трёх выводов обмоток.
Эта схема получила наименование «соединения звездой». Она и поныне является основной схемой организации трёхфазных электрических сетей.
Соотношение между линейным и фазным напряжением
С помощью векторной диаграммы, показывающей систему трехфазного тока, легко установить, что соотношение между фазным и линейным напряжениями будет:Uл = 2(Uф sin60о) = √3 Uф.
Это соотношение справедливо при определенных условиях также в случае отсутствия нейтрального провода, т. е. в трехпроводнойцепи.
На основании указанного соотношения можно сделать вывод о том, что соединение звездой следует применять в том случае, когда каждая фаза трехфазного приемника или однофазные приемники рассчитаны на напряжение в √3 раз меньшее, чем номинальное линейное напряжение сети.
Трехпроводная линия передачи электрической энергии
Передача электрической энергии от источника, может осуществляться посредством трехпроводной цепи.
В трехфазной трехпроводной системе начала фаз источника А, В, С соединяются с помощью трех проводов линии электропередачи с началами фаз a, b, c трехфазного приемника. Нейтраль источника N и нейтраль приемника n при этом между собой непосредственно не соединены.
Векторные диаграммы для токов и напряжений (а — симметричная, б — несимметричная нагрузки)
Четырехпроводная трехфазная система передачи электрической энергии. Несимметричная нагрузка. Роль нулевого провода. Векторные диаграммы напряжений и токов в случае симметричной и несимметричной нагрузки.
Четырехпроводная трехфазная система передачи электрической энергии.
Трехфазной называется цепь переменного тока, состоящая из источника трехфазной симметричной системы э.д.с., трехфазной, двухфазной или однофазной нагрузки и соединяющих их проводов. При присоединении фаз источника энергии и приемника звездой ( условное обозначение Y ) все концы фазных обмоток генератора соединяют в общий узел О ( рис. 1 ); такой же узел О образуется соединение трех фаз Za, Zb, Zcприемника, а три обратных провода фаз системы объединяют в один общий нейтральный или нулевой провод О-О. Остальные три провода, соединяющие генератор с приемниками, называют линейными.
Для расчета трехфазной цепи применимы все методы, используемые для расчета линейных цепей. Обычно сопротивления проводов и внутреннее сопротивление генератора меньше сопротивлений приемников, сопротивления проводов можно не учитывать (ZЛ = 0, ZN = 0
). Тогда фазные напряжения приемника Ua, Ub и Uc будут равны соответственно фазным напряжениям источника электрической энергии, т.е.
Ua = UA; Ub = UB; Uc = UC.
Если полные комплексные сопротивления фаз приемника равны
Za = Zb = Zc
, то токи в каждой фазе можно определить по формулам:
В соответствии с первым законом Кирхгофа ток в нейтральном проводе:
İN = İa + İb + İc = İA + İB + İC.
Несимметричной называется трехфазная нагрузка, комплексные сопротивления фаз которой неодинаковы. На практике такая нагрузка часто встречается при подключении различных однофазных потребителей электроэнергии к трехфазной цепи, при этом каждый однофазный потребитель является фазой трехфазной нагрузки. Фазы нагрузки часто соединяются в звезду, нейтраль которой соединяется с нейтралью генератора.
Роль нулевого провода.
Векторные диаграммы напряжений и токов в случае симметричной и несимметричной нагрузки.
Трёхфазная электрическая цепь с соединением фаз электроприемника по схеме треугольник. Соотношения между фазными и линейными напряжениями и токами. Векторные диаграммы для напряжений и токов. Схема с несимметричной нагрузкой.
Трёхфазная электрическая цепь с соединением фаз электроприемника по схеме треугольник.
При соединении источника питания треугольником конец X одной фазы соединяется с началом В второй фазы, конец Y второй фазы – с началом С третьей фазы, конец третьей фазы Z – c началом первой фазы А. Начала А, В и С фаз подключаются с помощью трех проводов к приемникам. (условное обозначение ∆ ).
Соотношения между фазными и линейными напряжениями и токами.
Соединение фаз источника в замкнутый треугольник возможно при симметричной системе ЭДС, так как ĖA + ĖB + ĖC = 0. Напряжение между концом и началом фазы при соединении треугольником – это напряжение между линейными проводами. Поэтому при соединении треугольником линейное напряжение равно фазному напряжению: UЛ = UФ. В отличие от соединения звездой при соединении треугольником фазные токи не равны линейным. Токи в фазах приемника определяются по формулам
Линейные токи можно определить по фазным, составив уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b и c:
Сложив левые и правые части системы уравнений, получим: İA + İB + İC = 0.
Это соотношение справедливо при определенных условиях также в случае отсутствия нейтрального провода, т. е. в трехпроводнойцепи.
На основании указанного соотношения можно сделать вывод о том, что соединение звездой следует применять в том случае, когда каждая фаза трехфазного приемника или однофазные приемники рассчитаны на напряжение в √3 раз меньшее, чем номинальное линейное напряжение сети.
Векторные диаграммы для напряжений и токов
На векторной диаграмме фазные токи отстают от фазных напряжений на угол φ (полагаем, что фазы приемника являются индуктивными, т.е. φ > 0°). Линейный ток İA отстает по фазе от фазного тока İab на угол 30°, на этот же угол отстает İB от İbс, İC от İсa.
Таким образом, при соединении треугольником
Фазное напряжение UФ = UЛ. Фазный ток IФ = UФ / ZФ,
Линейный ток IЛ = √3 IФ, Угол сдвига по фазе φ = arctg (XФ / RФ).
Схема с несимметричной нагрузкой.
Разберёмся что такое фазное напряжение
Для создания таких сетей требуется провести от генератора к потребителям линию электропередачи, состоящую из трёх проводов фазных и одного нулевого. Конечно, в реальных сетях для уменьшения потерь в проводах на обоих концах линий подключаются ещё и повышающие и понижающие трансформаторы, но реальной картины работы сети это не меняет.
Нулевой провод нужен, чтобы зафиксировать передать к потребителю потенциал общего вывода генератора, ведь именно по отношению к нему создаётся напряжение в каждом фазном проводе.
Таким образом, фазное напряжение образуется и измеряется относительно общей точки соединения обмоток — нулевого провода. В хорошо сбалансированной по нагрузкам трёхфазной сети через нулевой провод течет минимальный ток.
На выходе трёхфазной линии электропередачи имеются три фазных провода: L1, L2, L3 и один нулевой — N. По существующим евростандартам они должны иметь цветовые обозначения:
Такие линии подводятся к большим серьёзным потребителям: предприятиям, городским микрорайонам и т. п. Но маломощным конечным потребителям, как правило, не нужны три источника напряжения, поэтому они подключаются к однофазным сетям, где имеется только один фазный и один нулевой провод.
Равномерным распределением нагрузок в каждой из трёх однофазных линий обеспечивается баланс фаз в трёхфазной системе электроснабжения.
Таким образом, для организации однофазных сетей используется напряжение одного из фазных проводов относительно нулевого. Такое напряжение и называется фазным. По принятому в большинстве стран стандарту для конечных потребителей оно должно составлять 220 В. На него рассчитывается и выпускается практически все бытовое электрооборудование. В США и некоторых странах Латинской Америки для однофазных сетей принято стандартное напряжение 127 В, а кое‑где и 110 В.
4.3 Приемники, включаемые в трехфазную цепь
Приемники, включаемые в трехфазную цепь, могут быть однофазными и трехфазными. К однофазным приемникам относятся осветительные и различные бытовые приборы, однофазные двигатели и т.д. К трехфазным – трехфазные асинхронные двигатели и индукционные печи.
Фазы обмоток трехфазных приемников, а также однофазные приемники могут быть соединены как «звездой», так и «треугольником». При этом способ соединения обмоток генератора не влияет на способ соединения фаз потребителя. Несимметричные приемникии включаются или по схеме «звезда» в четырехпроводную сеть или по схеме «треугольник» в трехпроводную.
Соединение нагрузки по схеме «звезда»
Рисунок 4.9 – Соединение фаз нагрузки «звездой»
Приемники электрической энергии называют симметричными, если равны между собой комплексные сопротивления
и углы сдвига фаз между током и напряжением одинаковы:
Фазные токи при симметричной нагрузке образуют симметричную систему (рисунок 4.10).
Рисунок 4.10 – Симметричная нагрузка (а) и векторная диаграмма фазных токов и напряжений (б)
В данном случае напряжение опережает ток на углы φA=φB=φC
. При построении векторной диаграммы, где из вектора тока
IА
вычитаем вектора токов фаз
В
и
С
и получаем, что ток в нейтральном проводе равен нулю Таким образом, при симметричной нагрузке создается такой режим работы трехфазной цепи, при котором тока в нейтральном проводе нет. В этом случае переходят к трехпроводной трехфазной цепи (без нулевого провода).
Если условия симметрии не выполняются, то приемники называются несимметричными. При этом нагрузка может быть равномерной, если реактивные сопротивления равны между собой ZA=ZB=ZC
или однородной, если
φA=φB=φC
. Векторная диаграмма фазных напряжений и токов при несимметричной нагрузке представлена на рисунке 4.11
Рисунок 4.11– Несимметричная нагрузка (а) и векторная диаграмма фазных токов и напряжений (б)
В четырехпроводную сеть включают однофазные несимметричные приемники, режимы работы которых не зависят друг от друга, а нулевой провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника, то за счет него напряжения на каждой из фаз будут равны ŮA=Uа=Uф
соответствующим фазным напряжениям генератора по амплитуде и по фазе. А фазные токи в каждой из фаз
будут разными.
Чит
Что такое линейное напряжение сети
Преимущества однофазной сети в том, что один из проводов имеет потенциал, близкий к потенциалу Земли.
Это, во‑первых, помогает обеспечивать электробезопасность оборудования, когда риск поражения электротоком представляет только один, фазный провод.
Во‑вторых, такая схема удобна для разводки сетей, расчета и понимания их работы, проведения измерений. Так, для нахождения фазного провода не нужны специальные измерительные приборы, достаточно иметь индикаторную отвёртку.
Но от трёхфазных сетей можно получить и ещё одно напряжение, если подключить нагрузку между двумя фазными проводами. Оно будет по значению выше фазного напряжения, потому что будет представлять собой проекцию на координатную ось не одного вектора, а двух, расположенных под углом в 120° друг к другу.
Этот «довесок» и будет давать прирост примерно в 73%, или √3–1. По существующему стандарту линейное напряжение в трёхфазной сети должно быть равно 380 В.
Интерполяция и Экстраполяция онлайн (линейная интерполяция/экстраполяция)
Сервис интерполяции и экстраполяции онлайн (линейная интерполяция/экстраполяция) поможет вам вычислить значение линейной функции, имея в распоряжении f(x) в двух различных точках, а также рассчитает уравнение прямой. Данный сервис автоматически определит нужный способ расчета — вам лишь надо ввести значения в двух произвольных точках, и указать необходимую точку, в которой нужно рассчитать значение. Если установить «галку» внутри кнопки «Рассчитать», калькулятор будет рассчитывать значение автоматически при любом изменении входных данных. Пример расчета интерполяции
Интерполяция — (от латинского interpolatio изменение, переделка), в математике и статике это способ вычислить промежуточное значение функции по нескольким уже известным ее значениям. Например.: Имеется функция f(x), известны результаты значения f(x) в точке x0 и точке x2, интерполяця помогает найти значение f(x1) при условии что x1 принадлежит интервалу от x0 до x2. Если x1 лежит вне интервала (x0, x2), интерполяция не поможет, для этого нужно использовать «экстраполяцию». Этот метод часто называют «линейная интерполяция«, он дает 100% верный результат для уравнения прямой. Для вычесления резултата функций с двумя переменными существует «Билинейная интерполяция (Двойная интерполяция)». Также для рассчета интерполяции можно воспользоваться сервисом Интерполяция — полином Ньютона и Интерполяция — полином Лагранжа
Экстраполяция — в математике и статике это способ вычислить значение функции по нескольким уже известным ее значениям. Например.: Имеется функция f(x), известны результаты значения f(x) в точке x1 и точке x2, экстраполяция помогает найти значение f(x0) либо f(x3) при условии что x0 либо x3 меньше либо больше интервала x1 до x2. Если xn лежит в интервале (x1, x2), экстраполяция не поможет, для того вам нужно использовать «интерполяцию» — для функций с одной переменной, и «двойная интерполяция» — для функций с двумя переменными.
Этот метод часто называют «линейная экстраполяция«, он дает 100% верный результат для уравнения прямой.
Как для интерполяции так и для экстраполяции в основе их рассчета лежит пропорция (y1 — y0)/(y2 — y0) = (x1 — x0)/(x2 — x0), прирощение значения в первой точке к прирощению значения во второй точке относится также как прирощение переменной в первой точке к прирощению переменной во второй точке (все относительно нулевой точки отсчета), из этой пропорции легко получить формулу рассчета любого значения
Каково основное отличие этих напряжений
Если к такой сети подключить соответствующую нагрузку, например, трёхфазный электродвигатель, он будет давать механическую мощность, значительно большую, чем однофазный такого же размера и веса. Но подключить трёхфазную нагрузку можно двумя способами. Один, как уже было сказано — «звезда».
Если же начальные выводы всех трёх обмоток генератора или линейного трансформатора не соединять вместе, а подключить каждый из них к конечному выводу следующей, создав из обмоток последовательную цепочку, такое соединение называется «треугольником».
Особенность его в отсутствии нулевого провода, и для подключения к таким сетям нужно соответствующее трёхфазное оборудование, у которого нагрузки также соединены «треугольником».
При таком соединении в нагрузке действуют только линейные напряжения 380 В. Один пример: электродвигатель, включённый в трёхфазную сеть по схеме «звезда», при токе в обмотках 3,3 А будет развивать мощность 2190 Вт.
Тот же двигатель, включенный «треугольником», будет в корень из трёх раз мощнее — 5570 Вт за счёт увеличения тока до 10 А.
Получается, что, имея трёхфазную сеть и такой же электродвигатель, мы можем получить значительно больший выигрыш по мощности, чем при использовании однофазных, а просто изменив схему подключения, мы увеличим выходную мощность двигателя ещё втрое. Правда, его обмотки также должны быть рассчитаны на повышенный ток.
Таким образом, основное отличие между двумя видами напряжений в сетях переменного тока, как мы выяснили, — это величина линейного напряжения, которая в 3 раза больше фазного. За величину фазного напряжения принимается абсолютное значение разности потенциалов фазного провода и Земли. Линейное же напряжение — это относительная величина разности потенциалов между двумя фазными проводами.
Ну и в завершении статьи два видео о соединении звездой и треугольником, для тех кто хочет разобраться подробнее.
Примеры линейных операторов и их матриц
Если A: R2 R2 или A: R3 R3 – линейный оператор, действующий в пространстве R2 или R3, то его матрица имеет вид
соответственно. Этот оператор переводит векторы из R2 в векторы из R2 или векторы из R3 в векторы того же пространства R3.
Рассмотрим несколько примеров.
Пусть
A – оператор подобия
, отображающий вектор
x R3 в некоторый параллельный ему вектор y = ax. Линейность этого оператора очевидна.
Если i, j, k – базис пространства R3, то
Ai = ai = ai + 0j + 0k = ;
Aj = aj = 0i +aj + 0k = ;
Значит, матрица этого оператора имеет вид
При областью значений оператора подобия является, очевидно, все пространство R3, а ядром – нулевой вектор, т. к. только этот вектор удовле-творяет при преобразовании подобия равенству Ax = 0. Ясно, что ранг оператора подобия dim (im A) = 3, а его дефект dim (ker A) = 0.·
. Пусть
A – поворот векторов плоскостиR2 вокруг начала координат на угол j против часовой стрелки
. Это преобразование линейно, т. к., если векторы
a и b сначала сложить и затем повернуть их сумму a + b на угол j
, или, если оба вектора
a и b повернуть сначала на угол j
и затем их сложить, то получим тот же результат. Аналогично, не имеет значения, умножить ли вектор
a на число a
, а затем повернуть его на угол
j
или сделать это в обратном порядке.
Найдем матрицу оператора поворота. Для этого обратимся к рис. 10.1, из которого видно, что
Ai = i + j = i + j;
Aj = i + j = – i + j.
Так что искомая матрица оператора поворота в базисе i, j имеет вид
Используя матрицу оператора, получим формулы преобразования координат вектора на плоскости при повороте ее на угол j
– так называемые
формулы преобразования поворота
. Пусть
x = – вектор на плоскости, тогда координаты у
1,
у
2 вектора
Ax при повороте плоскости на угол j
определяются из соотношений
y = Аx
Ясно, что областью значений оператора поворота является вся плоскость R2, а ядром – нулевой вектор, т. е. dim (im A) = 2, dim (ker A) = 0.·
Пусть
A – зеркальное отражение (симметрия) векторов плоскостиR2 относительно оси Ox
. Линейность такого преобразования очевидна. Из рис. 10.2 следует, что
Ai = i = 1i + 0j, Aj = – j = 0i – 1j, поэтому матрица данного оператора имеет вид
.·
Пусть
A – зеркальное отражение векторов пространства R3 относительно плоскости Oxy
. При этом
Ai = i, Aj = j, Ak = – k, так что матрица данного оператора имеет вид
.
Очевидно, что im A = R3, а ker A = <0>.·
Пусть
A – ортогональное проектирование векторов пространства R3 на плоскость Oxy
. Линейность этого отображения следует из линейных свойств проекций векторов. Так как при этом имеем
Ai = i, Aj = j, Ak = 0, то матрица данного оператора имеет вид
.
Очевидно, в этом случае областью значений оператора является плоскость Oxy
, а ядром его служат все векторы, перпендикулярные этой плоскости, так что dim (im
A) = 2, dim (ker A) = 1.·
Пример 6.
Найти матрицу оператора A в базисах i, j, k пространства R3 и i, j пространства R2.
Согласно условию, матрица
А
имеет две строки и три столбца: